Eratòstenes (284-192 aC) fou el tercer director de l’escola d’Alexandria, aleshores la més important institució cultural i d’ensenyaments de l’època. Arreplegava tota la saviesa anterior a la seva històrica biblioteca i era la més important seu del coneixement, de la filosofia, matemàtica, astronomia, geografia... Allà hi convivien els grecs, jueus i àrabs.

El nostre personatge va realitzar la seva fantàstica experiència un dia molt proper a un solstici d’estiu. Ell sabia que a la ciutat de Siena, actual Assuan, aquells dies, a l’entorn de migdia, el Sol no projectava gens d’ombra dels arbres i edificis, i que es reflectia verticalment a l’aigua dels pous. Siena, situada a una latitud de 24° nord, no és gaire lluny del Tròpic de Càncer, 23,45° N. I alhora, a Alexandria, uns 800 km (mesura actual) més al nord, el Sol sí que ja projectava una ombra significadament mesurable. Amb aquestes dades i els seus exhaustius coneixements de l’època, planificà l’experiència que esdevindria, de passada, un dels inicis de la matemàtica com a eina imprescindible per al desenvolupament científic.

Les observacions esmentades foren suficients per a enllestir uns gràfics semblants als que us adjunt. Aquests us transmetran l’extraordinària informació elaborada fa més de dos mil anys.

Són importantíssimes les innovadores suposicions o hipòtesis emprades en el càlcul del radi de la Terra, útils recursos de la matemàtica. Són les següents:
a) Va suposar que la Terra és una esfera perfecta.
b) Els rajos solars que ens arriben són paral·lels, pel fet del Sol estar immensament allunyat.

Amb les dues hipòtesis anteriors, Eratòstenes ja podia enllestir gràfics i aplicar un dels postulats de la geometria d’un altre gran home de la precursora ciència d’aquells anys, en la Grècia del segle III aC: Euclides.

El progrés científic de la humanitat és com una gran escala on cada graó és un nou descobriment o innovació científica, i cada filòsof o investigador, des del graó del seu temps, es recolza en els anteriors. Newton va dir que havia pogut redactar els seus monumentals Principia perquè anava sobre les espatles de gegants. Es referia, sobretot, a Aristarc, Copèrnic, Descartes, Kepler, i Galileu. I cada un d’aquests també tenia els seus propis gegants. Podríem dir que es tracta de la gran escala de l’evolució del coneixement humà. I Euclides fou un dels gegants d’Eratòstenes.

El geòmetra Euclides, deixeble de Plató (427-347 aC), visqué a Alexandria devers el 300 aC. Allà fou docent del museu i escola de la ciutat, on hi havia la biblioteca més gran de la seva època, amb més de 650.000 documents. Allà redactà l’obra dels seus coneixements i dels que havia heretat dels seus precursors: Els elements. Constitueix un gran compendi de tots els geòmetres anteriors i les investigacions pròpies. Esmentarem l’egipcià Ahmes (1680-1620 aC), Tales de Milet (624-546 aC), Pitàgores (580-520 aC) i Arquimedes.

El postulat cinquè d’Els elements es refereix, precisament, a la geometria dels gràfics en els quals Eratòstenes representà la seva històrica experiència: «Si una recta talla dues paral·leles, els angles alterns-interns esdevinguts són iguals».

Un error, que nosaltres excusarem, fou que pensava que ambdues ciutats, Siena i Alexandria, estaven en el mateix semimeridià. El resultat obtingut, del radi del nostre planeta, és molt aproximat al real i no està gens malament per aquells temps.

A partir de l’experiència d’Eratòstenes, nosaltres podrem realitzar el càlcul del radi terrestre en qualsevol dia de l’any, coneixent la declinació solar corresponent. Per tal de facilitar la representació i les mesures, és convenient que les dues ciutats seleccionades estiguin pràcticament sobre el mateix semimeridià i separades almenys 200 km. Per tal d’obtenir el valor de l’angle de projecció, cal instal·lar un gnòmon o pal vertical en cada ciutat o lloc. La mesura correcta serà al migdia solar, moment en què el Sol traspassa el meridià comú als dos llocs. Aquest fet implica, doncs, que seran dues ciutats o llocs de distinta latitud i de la mateixa longitud geogràfica o molt aproximada.

Gràfic 1. Reproducció actual de l'experiència d’EratòstenesCiutats: Alexandria i Siena. Vegeu el gnòmon vertical instal·lat a ambdues ciutats, 𝑣̅. A la mateixa hora, el de Siena no projecta cap ombra perquè és molt a prop del tròpic de Càncer, on el Sol assoleix la màxima declinació a l’hemisferi nord (+23,45 ° aprox.) en el solstici d’estiu, però el d’Alexandria sí que ja projecta una ombra significativa. És interessant observar els angles que es deriven de les prolongacions de tot plegat respecte de la Terra, així com l’aplicació del cinquè postulat de la geometria d’Euclides. Eratòstenes no va fer més que aplicar-ho i establir la corresponent proporcionalitat per al càlcul del radi. Observem, també, com l’angle 𝛼̂ és la diferència de les latituds d’ambdues ciutats.
És important recordar que les lectures correctes són en el moment que el Sol està traspassant el meridià (semimeridià, realment) del lloc on es fan les mesures, el migdia solar, les dotze hores de temps vertader.

Gràfic 2. És com el gràfic anterior, però a escala superior, amb la finalitat de millorar les representacions.

Gràfic 3. Anàlisi general de les relacions angulars intervinents. Palma i París, ciutats de longitud geogràfica semblant, en el solstici d’estiu.

Llegenda:
𝜑̂: latitud Tròpic de Càncer, 23’45°
𝜑1̂: latitud de Palma
𝜑2̂: latitud de París
∝̂: separació angular Palma-París
𝑆̅: distància Palma-París: 1032,59 km
𝑝1̂: angle del raig solar projectat a la vertical del lloc A (Palma)
𝑝2̂: angle del raig solar projectat a la vertical del lloc B (París)
𝐴𝐴⃑⃑⃑⃑⃑ ′: longitud de l’ombra projectada per la vertical en el punt A
𝐵𝐵⃑⃑⃑⃑⃑ ′: longitud de l’ombra projectada per la vertical en el punt B

A: Palma, 39,56939 °N – 2,65024 °E.
B: París, 48,85341 °N – 2,3488 °E
R: Radi de la Terra
𝑉⃑ : vertical del lloc
𝐻̅: horitzontal del lloc
se: Sol del solstici d’estiu

Analitzant visualment el gràfic 3, obtindreu les relacions angulars següents:
1)   𝜶̂ = 𝝋𝟐̂ – 𝝋𝟏̂ (diferència de latituds, simplement)
2)   𝒑𝟏̂ = 𝝋𝟏̂ – 𝜹̂ 𝝋̂𝟏= 𝒑̂𝟏+𝜹̂
      𝒑𝟐̂ = 𝝋𝟐̂ – 𝜹̂ 𝝋̂𝟐= 𝒑̂𝟐+𝜹̂

Observació: la declinació solar, 𝛿̂, pot ser positiva o negativa, segons l’estació de l’any.
Generalització:   𝑝̂ = 𝜑̂ – 𝛿̂
                             𝜑̂ = 𝑝̂ + 𝛿̂
3)   D’1 i 2 obtenim: 𝜶̂ = 𝒑𝟐̂ – 𝒑𝟏̂

EN CONCLUSIÓ: l’angle 𝛼̂ el podem obtenir indistintament de dues formes, 1 i 3.

Gràfic 4. Eratòstenes en el solstici d’hivern. Palma-París.

Gràfic 5. Eratòstenes en un dia equinoccial. Palma-París.

Gràfic 6. Finalment, Eratòstenes en qualsevol dia de l’any. Barcelona – Dunkerque. Dia de l’experiència: un dia de primavera, el 15 d’abril. Declinació solar = +10°.

Joan Salvà Caldés
20 de març de 2025 (el dia del Punt Vernal ascendent, equinocci de primavera)