CURVATURA GAUSSIANA

Carl Friedrich Gauss, en el seu estudi fonamental de les superfícies corbes, va definir l'anomenada curvatura gaussiana d'una superfície K. Aquesta curvatura és el producte de les curvatures principals k1·k2 de la superfície en un punt determinat. Les curvatures principals defineixen les direccions de màxima i mínima curvatura i, en general, aquestes direccions solen ser perpendiculars.

Recordem que la curvatura C és el recíproc del radi R de curvatura C = 1/R. Si observem una figura geomètrica senzilla des d'un espai de tres dimensions, és fàcil identificar les direccions de les curvatures principals. Sorprenentment, Gauss va demostrar (en el seu teorema egregi [1]) que és possible trobar la curvatura gaussiana sense abandonar la superfície bidimensional de les figures. Aquesta curvatura és una propietat intrínseca de la superfície, que no té relació amb com aquesta superfície s'incrusta en un espai tridimensional. Uns éssers bidimensionals podrien trobar-la prenent mesures angulars i de distància dins de la superfície.

A la següent imatge (fig. 1) podem veure diverses figures geomètriques amb la indicació de les seves curvatures principals k1,k2 i gaussianes K. Segons el signe de la curvatura tindrem tres casos: geometria hiperbòlica (K<0), geometria euclidiana (K=0) i geomètrica el·líptica o esfèrica (K>0).

Figura 1

Si dues superfícies tenen la mateixa curvatura gaussiana, aleshores ambdues superfícies podran superposar-se, en íntim contacte, sense que hi hagi estirament ni esquinçament. Les distàncies, els angles i les àrees d'una superfície es mantindran en superposar les dues superfícies. És el que passa amb el pla, el con i el cilindre. Aquestes tres figures tenen una curvatura gaussiana K nul·la a tots els seus punts i, per tant, el con i el cilindre podran estendre's perfectament sobre un pla (i també el pla sobre el cilindre o con). La curvatura gaussiana d'una superfície no canvia en ondular-se.

En canvi l'hiperboloide (K<0) i l'esfera (k>0), en tenir curvatures gaussianes diferents, mai no es podran estendre sobre un pla (K=0). Per aquest motiu, és impossible fer un mapa pla de la superfície terrestre sense que canviïn distàncies, angles o àrees.

ELS ANGLES A LA TERRA

Els triangles formats sobre qualsevol superfície tindran unes propietats diferents segons el tipus de curvatura d'aquesta superfície.

Estem acostumats que la suma dels angles interns d'un triangle sumi 180º, però això només és cert en superfícies amb geometria euclidiana (K=0). En una geometria el·líptica (K>0), com a l'esfera o l'el·lipsoide de revolució, la suma dels angles interns d'un triangle sumen més de 180º. En el cas d'una geometria hiperbòlica (K<0), la suma dels angles del triangle és menor de 180º. (Vegeu fig. 2)

Figura 2

La Terra gairebé és una esfera que aproximem a un el·lipsoide de revolució (una el·lipse girant entorn de l'eix de rotació del planeta). En una esfera, en sentit estricte, no hi ha curvatures principals ja que en qualsevol punt i en qualsevol direcció la curvatura gaussiana és la mateixa K = 1/R2. A l'el·lipsoide de revolució, la curvatura és sempre positiva però diferent a gairebé tots els seus punts. Aquesta peculiaritat complica enormement els càlculs en aquesta superfície. No obstant això, a l'el·lipsoide hi ha dos punts singulars (punts umbilicals), situats als pols, on les curvatures són idèntiques (i positives) en totes direccions. (Vegeu fig. 3)

Figura 3

Com ja s'ha dit, la suma dels angles interiors d'un triangle esfèric (o el·lipsoïdal) excedeix els 180º. Aquest excés s'anomena excés esfèric E i és directament proporcional a l'àrea A del triangle. (Fig. 4)

Figura 4

Triangulació Dunkerque - Barcelona

A la triangulació de la mesura de l'arc de meridià entre Dunkerque i Barcelona (1792 – 1798) per a la determinació del metre es van observar 115 triangles i, tot i que eren uns triangles relativament petits (15-40 km de costat) es va poder detectar l'excés esfèric a gairebé tots. L'excés esfèric de la triangulació va oscil·lar entre els gairebé zero segonsd'arc als triangles més petits i 4,2 segons d'arc als triangles més grans. Cal assenyalar que els aparells de mesurament d'angles (cercle repetidor de Borda) oferien una precisió d'1 segon d'arc.

A la figura 5 es mostren les dades d'un dels triangles situat a prop de la ciutat francesa de Rodés. Les dues últimes columnes mostren els angles reduïts al pla per poder calcular el triangle mitjançant trigonometria plana, seguint les indicacions del teorema de Legendre [2].

Figura 5

La triangulació al país València i les illes Balears

El 1799, acabada la triangulació a Barcelona, es va anunciar solemnement a París el valor de la longitud del metre. Tot i això, l'astrònom Pierre Méchain (responsable de la part sud de la triangulació) va considerar que seria molt convenient perllongar la triangulació fins a la zona de València i Balears. Malauradament, va contreure paludisme i va morir el 1804 a Castelló de la Plana. No obstant això, el 1807, Francesc Aragó i Jean Baptiste Biot, acompanyats de José Chaix i José Rodriguez van prendre el relleu i van mesurar la complexa part meridional de la triangulació.

La unió de la península amb les Illes Balears va motivar l'observació d'un dels triangles més grans mesurats mai, amb dos vèrtexs al país valencià i un vèrtex a l'illa d'Eivissa. En aquest gran triangle de 7 663 km², es va manifestar clarament un excés esfèric de 38,94 segons d'arc.

Els vèrtexs del triangle (fig. 6):

• Cap Gros de Montgó, situat a prop de la localitat de Xàbia (Alacant).

(38º 48' 11,626'' N, 0º 07' 45,732'' E, 752 m).

• El Bartolo, situat a la serra del desert de la Palmes (Castelló)

(40º 05' 07,403'' N, 0º 01' 51,666'' E, 729 m).

• Puig des Camp Vell, a prop de la localitat de Santa Agnès de Corona (Eivissa).

(39º 03' 34,98'' N, 1º 21' 16,13'' E, 401 m).

Els angles interiors del triangle van sumar 180o 00' 38,94'' i, per tant, no hi havia cap dubte que el triangle estava situat sobre una superfície esfèrica.

Figura 6

LES DISTÀNCIES A LA TERRA

Actualment, els moderns aparells làser de mesura de distàncies poden mesurar distàncies de 5 000 m amb una precisió de 15 mm. Aquesta precisió ens permet descobrir alguns efectes de la curvatura terrestre que afecten les distàncies. A la figura 7 es mostra un hipotètic mesurament de distàncies entre dues muntanyes.

Figura 7

En geodèsia i geografia, quan parlem de la distància entre dos punts P1 i P2 gairebé sempre ens referim a la distància, en arc, entre les projeccions P1' i P2' sobre el nivell del mar (més precisament, sobre l'el·lipsoide). És la manera d'homogeneïtzar distàncies preses a diferents altituds. Les distàncies i les superfícies de finques sempre s'haurien de reduir a nivell del mar.

A causa de l'esfericitat terrestre, les verticals P1 - P1' i P2 - P2' no són paral·leles i la distància de 5 000,78 m que podem mesurar directament amb un distanciòmetre làser des dels cims de 1 000 m d'altitud, quedarà reduïda a 5 000 m un cop projectada sobre el nivell del mar.

Quan s'efectuen mesuraments de distàncies curtes, en terrenys baixos (menys de 200 m), la diferència entre les dues distàncies gairebé es pot menysprear (3 cm en 1000 m de distància). Però si mesurem una distància de 5 000 m a la localitat minera de Santa Bàrbara (Bolívia) que és a 4 772 m d'altitud, tindrem una diferència de distàncies, gens menyspreable, de 3,7 m.

En una terra plana, amb totes les verticals paral·leles, tot seria molt més senzill.

Un darrer exemple

Imaginem que uns esforçats geodestes dibuixen un enorme cercle a les planes de l'Europa oriental. El centre del cercle situat a la ciutat de Moscou té un radi, acuradament mesurat, de 600 km que gairebé arriba a la ciutat de Sant Petersburg.

Per simple càlcul geomètric, els geodestes deduiran que el cercle té una longitud de 2*π*600 = 3 770 km. Però, quan mesurin, a consciència, la longitud de la circumferència, s'adonaran que, enrealitat, fa 3 764 km (uns 6 km menys).

Tal com es pot veure al gràfic de la figura 8, a causa de la curvatura terrestre, el radi del cercle no és de 600 km sinó de 599,1 km.

Figura 8

La Terra ens dóna grans pistes sobre la seva esfericitat, però, com hem vist, hi ha unes pistes més subtils que també ens indiquen que vivim sobre un món esfèric.

Notes

[1] Teorema egregi

https://es.wikipedia.org/wiki/Theorema_egregium

https://gyarmati.eu/publikaciok/JRECS-132.pdf

[2] Teorema de legendre

https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre%27s_theorem_on_spherical_triangles

Aquesta adreça de correu-e està protegida dels robots de spam.Necessites Javascript habilitat per veure-la.

Gabriel Guix és Topògraf.

Membre de l'Agrupació Astronòmica d'Osona